Quand une ligne droicte tombant sur une ligne droicte fait angles, ou iceux seront deux angles droicts, ou egaux à deux droicts.

Soit la ligne droicte AB, laquelle tombant sur une autre ligne droicte CD, fait les angles CBA, et DBA : Je dis que iceux sont deux angles droicts, ou egaux à deux droicts.

Car ou icelle ligne AB est perpendiculaire à CD, ou elle ne l'est pas : Si elle est perpendiculaire, les deux angles sont droicts par la 10.definition. Si elle ne l'est pas, soit levee la perpendiculaire BE par la 11.proposition et les deux angles CBE et DBE seront droicts par la susdite definition mais par le 19.axiome le seul angle droict DBE est egal aux deux angles DBA, ABE ensemble : parquoy si on leur adjouste le commun CBE, les trois angles DBA, ABE et CBE seront egaux aux deux droicts DBE, CBE. Derechef, d'autant que par le mesme 19.axiome les deux angles CBE, ABE ensemble sont egaux au seul ABC : si on adjouste le commun DBA, les deux angles ABC, DBA seront egaux aux trois CBE, ABE, DBA : mais ces trois cy ont esté demonstrez egaux à deux droicts : donc ces deux-là ABC, ABD seront aussi egaux à deux droicts. Parquoy si une ligne droicte tombante sur une autre ligne droicte, etc. Ce qu'il falloit demonstrer.

SCHOLIE

Ceste demonstration de theoreme est suivie par la pluspart des Interpretes d'Euclide, mais les autres ayans monstré comme dessus, que les deux angles CBE et DBE sont droicts, concluent incontinent par le axiome.8 que les deux ABC, et ABD ensemble, seront donc aussi egaux à deux droicts, veu qu'ils occupent autant d'espace, voire le mesme, que les deux droicts CBE, DBE, et conviennent avec eux.

Aussi Clavius a remarqué, que cette preposition semble dependre de quelque commune notion de l'esprit : car de ce que l'angle ABC excede l'angle droict EBC, l'angle restant ABD est excedé par l'angle droict EBD ; car comme en celuy-là l'excez est l'angle ABE, ainsi en celuy-cy le defaut est le mesme angle ABE. Parquoy l'on pourra conclurre, que les angles ABC, ABD sont egaux à deux droicts, attendu que l'excez de l'angle obtus ABC, est le defaut de l'aigu ABD.