Si deux lignes droictes se coupent l'une l'autre, elles feront les angles opposez au sommet egaux.

Soient les deux lignes AB et CD, se couppans l'une l'autre au poinct E : Je dis que les angles opposez au sommet, sçavoir AEC, et DEB, sont egaux entr'eux.

Car d'autant que sur AB tombe la ligne CE, les angles AEC, et BEC, sont egaux à deux droicts par la 13.proposition. Item, pour la mesme raison, CEB, et DEB, seront egaux à deux droicts : partant les deux angles AEC et CEB, sont egaux aux deux CEB & DEB. Que si on oste le commun CEB, le demeurant AEC sera egal au demeurant DEB. Le mesme se peut aussi dire des deux angles opposez AED, et CEB. Parquoy si deux lignes droictes, etc. Ce qu'il falloit demonstrer.

COROLLAIRE

Il s'ensuit de cestre demonstration, que deux lignes droictes s'entrecouppans, font au poinct de leur section quatre angles egaux à quatre angles droicts. Est aussi manifeste qu'estans constituez tant d'angles qu'on voudra à l'entour d'un seul et mesme poinct, qu'ils seront seulement egaux à quatre angles droicts : car si de E, en la precedente figure, on meine tant d'autres lignes droictes qu'on voudra, elles diviseront seulement les quatre angles constituez au poinct E, en plusieurs parties ; toutes lesquelles parties prinses ensemble, seront egales aux quatre angles d'iceluy poinct E, par le 19.axiome, c'est à dire à quatre angles droicts.

Nous demonstrerons icy la converse de cette 15.proposition qui, selon Proclus, est telle.

Si à un poinct de quelque ligne droicte se rencontrent deux autres lignes droictes, non de mesme part, faisant des angles au sommet egaux : icelles deux lignes se rencontreront directement.

Soit la ligne droicte AB, et un poinct en icelle E, auquel soient menees les deux lignes droictes CE, DE de part et d'autre de AB faisant les angles CEA, DEB egaux entr'eux. Je dis qu'icelles lignes CE, DE se rencontrent directement. Car adjoustant aux angles egaux CEA, DEB, l'angle commun CEB : les deux angles CEA, CEB seront egaux aux deux angles DEB, CEB par le 2.axiome. Mais les deux angles CEA, CEB sont egaux à deux droicts par la 13.proposition. Donc les deux DEB, CEB seront aussi egaux à deux droicts, et par la 14.proposition les lignes droictes CE, DE se rencontreront directement. Ce qui estoit proposé.

Pelletier a aucunement changé cette converse : car il dit que si quatre lignes droictes AE, CE, BE, DE se rencontrans au poinct E y font quatre angles dont les opposez AEC, BED soient egaux entr'eux, et les opposez BEC, AED, aussi egaux entr'eux : les deux lignes opposites AE, BE se rencontreront directement, comme aussi les deux CE, DE. Ce qui est manifeste, car si aux angles egaux AEC, BED, on adjouste les egaux CEB, AED, par le 2.axiome les deux angles AEC, CEB seront egaux aux deux angles BED, AED. Donc tant ces deux là que ces deux-cy sont moitié des quatre angles faicts au point E, lesquels par le Corollaire precedent sont egaux à quatre droicts. Parquoy les deux angles AEC, CEB seront egaux à deux droicts, et par la 14.proposition les deux lignes AE, BE se rencontreront directement. Et pour mesme raison CE, DE seront aussi une seule ligne droicte CD.