Tout triangle a deux angles plus petits que deux droicts, de quelle façon qu'ils soient pris.

Soit le triangle ABC : Je dis que les deux angles B, et ACB sont ensemble plus petits que deux droicts ; comme aussi les deux A, et ACB : item les deux A et B.

Car apres avoir continué le costé BC, jusques en D, il est evident par la 16.proposition que l'angle exterieur ACD est plus grand que l'opposé interieur B : et par le 4.axiome si on leur adjouste l'angle commun ACB, les deux ACD et ACB seront plus grands que les deux B et ACB. Mais les deux ACD et ACB, sont egaux à deux droicts, par la 13.proposition. Partant ABC et ACB, sont plus petits que deux droicts.

On demonstrera pareillement que les deux angles A et ACB : Item les deux angles A et B, en prolongeant un autre costé, sont moindres que deux droicts. Parquoy tout triangle a deux angles plus petits que deux droicts, etc. Ce qu'il falloit demonstrer.

COROLLAIRE

De cecy est manifeste que d'un mesme poinct on ne peut mener plus d'une ligne perpendiculaire sur une ligne droicte. Car si faire se peut, soient menees de A sur la ligne droicte BD, les deux perpendiculaires AD, AB. Donc au triangle ABD, les deux angles internes ABD, ADB, seront egaux à deux droicts, puis que chacun est droict. Ce qui est impossible : car il a esté demonstré cy-dessus que deux angles d'un triangle sont moindres que deux angles droicts.

Il s'ensuit aussi de cette proposition qu'en tout triangle, duquel un angle est droict, ou obtus, que les autres sont aigus. Car puis qu'il a esté demonstré que deux angles quels qu'ils soient, sont moindre que deux droicts, il est necessaire que s'il y en a un droict ou obtus, celuy qu'on voudra des deux autres soit aigu : car autrement en un triangle seroient deux angles drcoits, ou plus grands que deux droicts.

S'ensuit encore de cette proposition que si une ligne droicte AB, fait avec une autre ligne droicte CD, angles inegaux, sçavoir est ABD, aigu, et ABC, obtus, et de quelconque poinct d'icelle AB, on tire une perpendiculaire sur CD, comme AD : icelle perpendiculaire AD, tombera de la part de l'angle aigu ABD : car qu'elle tombe, s'il est possible, du costé de l'angle obtus ABC, comme AC. Donc au triangle ABC, les deux angles ABC, ABC, obtus et droict, sont plus grands que deux droicts ; mais aussi moindre que deux droicts par cette proposition ce qui est absurde. La perpendiculaire tiree de A, ne tombera donc pas du costé de l'angle obtus, et partant tombera du costé de l'angle aigu.

Est encore manifeste par cette proposition que tous les angles d'un triangle equilateral, et les deux angles de dessus la base d'un triangle isoscelle, sont aigus. Car puis que deux angles quels qu'il soient, d'une triangle equilateral, et les deux de dessus la base d'un isoscelle sont egaux entr'eux par la 5.proposition et tant ces deux-cy ensemble, que ces deux-là, sont moindres que deux droicts par cette proposition chacun d'iceux sera moindre qu'un droict, c'est à dire aigu : car s'il estoit droict, ou obtus, tous les deux ensemble seroient, ou egaux à deux droicts, ou plus grands.