Si deux triangles ont deux angles egaux à deux angles, chacun au sien, et un costé egal à un costé, sçavoir est, ou celuy aux extremitez duquel sont les angles egaux, ou bien celuy qui soustient l'un d'iceux angles egaux : ils auront aussi les costez egaux aux autres costez, chacun au sien, et l'autre angle egal à l'autre angle.

Soient deux triangles ABC et DEF, desquels les angles B et ACB, sont egaux aux deux E et F, chacun au sien, et soit premierement le costé BC, aux extremitez duquel sont les angles B et ACB, egal au costé EF, aux extremitez duquel sont les angles E et F. Je dis que les deux autres costez AB, AC, sont egaux aux deux autres costez DE, DF, chacun au sien, sçavoir AB à DE, et AC à DF, et l'autre angle BAC egal à l'autre angle D.

Car si AB n'est egal à DE, l'un d'iceux sera plus grand : Soit donc AB plus grand, s'il est possible, et d'iceluy soit retranchee BG egale à DE : puis soit tirée la ligne droicte CG. Donc puis que les costez BC, BG, sont egaux aux costez EF, DE, chacun au sien, et l'angle B egal à l'angle E, par la 4.proposition la base CG sera egale à la base FD, et les autres angles egaux aux autres angles chacun au sien, c'est à sçavoir que l'angle BCG sera egal à l'angle F, auquel est aussi egal l'angle ABC par l'hypothese. Partant les deux angles ACB et GCB seroient egaux, la partie au tout : ce qui est absurde. Donc le costé AB n'estoit pas inegal au costé DE, mais egal. Parquoy veu que les costez AB, BC sont egaux aux costez DE, EF, chacun au sien, et l'angle B egal à l'angle E ; la base AC sera egal à la base DF, et l'autre angle BAC egal à l'autre angle D, par la 4.proposition de ce livre. Ce qui estoit proposé.

Soient maintenant egaux deux autres costez sçavoir est AB à DE soustendans angles egaux ACB et F. Je dis derechef que les deux autres costez AC, BC sont egaux aux deux autres costez DF, EF, chacun au sien, c'est à dire AC à DF, et BC à EF : et l'autre angle BAC egal à l'autre angle D. Car si le costé BC n'est egal au costé EF, soit le plus grand BC, duquel soit couppé BH égal à EF, puis tiré la ligne AH. Donc puis que les costez AB, BH sont egaux aux costez DE, EF, un chacun au sien, et l'angle B est egal à l'angle E par hypothese, par la 4.proposition la base sera egale à la base, et les autres angles egaux aux autres angles, c'est à sçavoir, que l'angle AHB sera egal à l'angle F. Mais par l'hypothese l'angle ACB, est aussi egal à l'angle F. Donc l'angle AHB sera aussi egal à l'angle ACB, l'exterieur à son opposé interieur : ce qui est absurde : car il est plus grand par la 16.proposition. Le costé BC n'estoit donc pas plus grand que le costé EF, ains egal. Parquoy les deux costez AB, BC, sont egaux aux deux costez DE, EF, chacun au sien, et par la 4.proposition l'angle B estant egal à l'angle E, les bases AC, DF, seront egales, et les autres angles BAC et D aussi egaux. Parquoy si deux triangles ont deux angles egaux, etc. Ce qu'il falloit demonstrer.

COROLLAIRE

Il est manifeste par la demonstration de cette proposition, que le triangle est aussi egal au triangle.

SCHOLIE

Nous demonstrerons icy deux theoremes assez utils et necessaires en Geometrie : le premier est tel.

En un triangle equilateral, ou Isoscelle, estant menee une ligne droicte de l'angle contenu des deux costez egaux, laquelle divise en deux egalement, ou l'angle, ou la base ; elle sera perpendiculaire à la base : et si elle couppe l'angle en deux egalement, elle couppera aussi la base en deux egalement : Mais si elle couppe en deux egalement la base, elle couppera pareillement l'angle en deux egalement. Et au contraire estant tiree une ligne droicte perpendiculaire à la base, elle divisera en deux egalement, tant la base que l'angle.

Au triangle ABC soient deux costez egaux AC, BC, et la ligne droicte CD divise premierement l'angle C en deux egalement. Je dis qu'icelle ligne CD est perpendiculaire à la base AB, et la divise en deux egalement. Car puis que les deux costez AC, CD, sont egaux aux deux costez BC, CD, et les angles qu'ils contiennent aussi egaux, par la quatriesme proposition les bases AD, BD seront aussi egales, et les angles au poinct D egaux, et partant droicts.

Que si la ligne droicte divise en deux egalement la ligne AB : Je dis que la ligne droicte CD est perpendiculaire à la ligne AB, et que l'angle C est couppé en deux egalement. Car puis que les deux costez AD, DC, sont egaux aux deux costez BD, DC, et la base AC egale à la base BC, par la 8.proposition les angles du poinct D seront egaux, et partant droicts, et la ligne CD perpendiculaire, et par le Corollaire de la 8.proposition les angles qui sont en C seront aussi egaux.

Maintenant soit la ligne droicte CD perpendiculaire à AB : Je dis qu'elle coupe aussi la base BA, et l'angle C en deux egalement. Car par la 5.proposition les angles A et B seront egaux : parquoy puis que les deux angles A et D du triangle ACD, sont egaux aux deux angles B et D, du triangle BCD, un chacun au sien, et le costé CD opposé aux angles egaux A et B commun, par la 26.proposition les autres costez AD, BD, seront aussi egaux, et les autres angles du poinct C pareillement egaux. Ce qu'il falloit demonstrer.

Le second Theoreme est tel.

Le triangle auquel une ligne droicte tiree de l'un des angles perpendiculaire à la base, divise ou la base ou l'angle en deux egalement, a les deux costez comprenant iceluy angle egaux : Et si la base est divisee en deux egalement, l'angle sera aussi divisé en deux egalement : Mais si l'angle est divisé en deux egalement, aussi sera la base divisee en deux egalement.

Au mesme triangle ABC, soit CD perpendiculaire à la base AB, et la divise en deux egalement. Je dis que les costez AC et BC sont egaux, et les angles à C aussi egaux. Car puis que les deux costez AD, DC, sont egaux aux deux costez BD, DC, et les angles qu'ils comprennent aussi egaux, sçavoir droicts par la 4.proposition les bases AC, BC, et les angles à C seront pareillement egaux.

Maintenant, que la perpendiculaire CD couppe en deux egalement l'angle C : je dis que les costez AC, BC sont egaux ; et les lignes AD, BD aussi egales : Car puis que les deux angles D, C, du triangle ACD, sont egaux aux deux angles D, C du triangle BCD, et le costé CD est commun, par la 26.proposition les deux costez AC, BC, seront egaux ; et les costez AD, BD, aussi egaux : Ce qu'il falloit demonstrer.