En tout triangle, l'un des costez estant prolongé, l'angle exterieur est egal aux deux opposez interieurs ; et de chacun triangle les trois angles interieurs sont egaux à deux droicts.

Soit le triangle ABC, duquel le costé BC, soit prolongé jusques en D : Je dis en premier lieu que l'angle exterieur ACD, est egal aux deux opposez interieurs A et B.

Qu'il ne soit ainsi : qu'on meine CE parallele à BA par la 31.proposition et d'autant que la ligne AC tombe sur les paralleles AB, EC, par la 29.proposition les angles BAC, et ACE, seront alternativement egaux : item l'exterieur ECD, sera egal à son opposé interieur ABC. Partant il est manifeste que le total ACD, est egal aux deux A et B, opposez interieurement.

Pour la seconde partie, que les trois angles A, B et C, interieurs du triangle ABC sont egaux à deux droicts, il est evident, estant ACD egal aux deux A et B. Mais ACD et ACB, sont ensemble egaux à deux droicts par la 13.proposition. Partant les trois angles interieurs A, B, et ACB, seront aussi egaux à deux angles droicts. Si donc de tout triangle, l'un des costez est prolongé, etc. Ce qu'il falloit demonstrer.

SCHOLIE

De ceste proposition nous pouvons colliger à combien d'angles droicts sont egaux tous les angles internes de quelconque figure rectiligne, qui n'en a point d'externe et ce par deux manieres, dont la premiere est telle.

Tous les angles de quelconque figure rectiligne, sont egaux à deux fois autant d'angles droicts, qu'icelle est entre les figures rectilignes.

C'est à dire, que tous les angles de la premiere figure rectiligne sont egaux à deux fois un droict, c'est à dire, à deux droicts : Mais les angles de la seconde figure rectiligne, sont egaux à deux fois deux droicts, sçavoir est à quatre droicts : Mais ceux de la troisiesme figure, sont egaux à deux fois trois droicts, c'est à dire à six droicts, et ainsi des autres. Or le lieu qu'obtient chasque figure rectiligne entre les figures rectilignes, est monstré par le nombre des costez, ou des angles, deux d'iceux ostez ; d'autant que deux lignes droictes n'enferment pas une superficie, et par consequent ne sonstituent une figure : d'où vient que le triangle est la premiere figure rectiligne : Car de ses costez, en estant ostez deux, reste un : ainsi la figure ayant douze costez, ou douze angles, sera la dixiesme figure, puis que deux estant ostez de douze restent dix : et ainsi faut il juger des autres. Parquoy puis que la figure contenue de douze costez, est la dixiesme, elle aura aussi douze angles equivallans à vingt angles droicts, c'est à sçavoir à deux fois dix angles droicts : Ainsi aussi tous les dix angles de la figure contenue de dix costez, equivallent à seize angles droicts, puis qu'icelle figure est la huictiesme en ordre des figures rectilignes. Or la raison de cecy est, que toute figure rectiligne se divise en autant de triangles, qu'elle est quantiesme en ordre entre les figures, ou bien qu'elle a d'angles, ou de costés, deux estant ostez : Car de quelconque angle d'une figure, on peut tirer des lignes droictes à tous les angles opposez : mais aux deux plus prochains on n'en peut pas tirer. Parquoy la figure sera divisee en autant de triangles qu'elle a d'angles, deux d'iceux estans ostez. Ainsi il est evident que le triangle ne se peut diviser en autres triangles : mais le quadrangle se couppe en deux : le Pentagone en trois, etc. Veu donc que les angles d'iceux triangles constituent tous les angles de la figure proposee, et tous les angles de quelconque triangle rectiligne sont egaux à deux droicts : il est manifeste que tous les angles de quelconque figure rectiligne sont egaux à deux fois autant d'angles droicts, qu'est le nombre des triangles esquels elle se divise, c'est à dire à deux fois autant d'angles droicts, qu'icelle figure est quantiesme en ordre entre les figures rectilignes. Ce qu'on voit manifestement és figures cy dessus apposees.

Le second moyen par lequel on sçaura la valeur des angles de quelconque figure rectiligne, est cestuy-cy.

Tous les angles de quelconque figure rectiligne, sont egaux à deux fois autant d'angles droicts, quatre estans ostez, qu'il y a en icelle d'angles, ou de costez.

C'est à dire, que les angles de chasque triangle sont egaux à deux fois trois droicts, quatre ostez, c'est à sçavoir à deux droicts : Ainsi aussi les angles de la figure de douze costés, vaudront deux fois douze angles droicts, moins quatre, sçavoir est vingt angles droicts, etc. Or la demonstration de cela est telle. Si de quelconque poinct pris dedans la figure on tire des lignes droictes à tous les angles, il y aura autans de triangles en ladite figure, qu'elle a d'angles ou de costez. Veu donc que les trois angles de chasque triangle par la 32.proposition sont egaux à deux droicts, tous les angles d'iceux triangles, sont egaux à deux fois autant de droicts qu'il y a de costez en la figure. Mais il est evident que les angles des mesmes triangles qui sont à l'entour du poinct pris dedans la figure, n'appartiennent aux angles de ladite figure proposee : et partant si on oste ces angles-là, les autres angles des triangles qui constituent ceux de la figure proposee, seront aussi egaux à deux fois autant d'angles droicts, ceux d'alentour le poinct pris estans ostez, qu'il y a de costez, ou d'angles à la figure. Mais tous ces angles-là d'alentour le poinct pris, sont seulement egaux à quatre droicts, ainsi que nous l'avons colligé de la 15.proposition. Parquoy les angles de quelconque figure rectiligne sont egaux à deux fois autant de droicts, quatre estans ostez, que ladite figure contient d'angles ou de costez.

Or il appert de ce que dessus, que si chasque costé de quelconque figure rectiligne, qui n'a que des angles interieurs, est prolongé par ordre vers une mesme part ; tous les angles externes pris ensemble, seront egaux à quatre droicts. Car par la 13.proposition les angles interieurs pris avec les exterieurs, sont egaux à deux fois autant d'angles droicts, qu'il y a d'angles, ou de costez en la figure. Mais les angles interieurs sont egaux à deux fois autant de droicts, quatre ostez, que ladite figure a d'angles, comme nous avons monstré cy dessus : partant les exterieurs sont tousjours egaux à quatre droicts. Par exemple : En quelconque triangle, les angles interieurs et exterieurs ensemble, sont egaux à six droicts : comme il appert en cette figure. Mais par la 32.proposition les internes seuls sont egaux à deux droicts. Donc les seuls exterieurs seront egaux à quatre droicts. En un quadrangle, les angles exterieurs, et les interieurs ensemble, sont egaux à huict droicts. Mais les interieurs seuls sont egaux à quatre droicts, come nous avons demonstré : les exterieurs seuls sesront donc aussi egaux à quatre droicts. Toutes lesquelles choses peuvent estre veuës ez figures apposees cy dessus. Il y a la mesme raison en toutes autres figures qui ont tous leurs angles interieurs.

COROLLAIRE

Il resulte de cette 32.proposition que les trois angles de quelconque triangle rectiligne pris ensemble, sont egaux aux trois angles de quelconque autre triangle pris ensembles. Pource que tant ces trois-là, que ces trois-cy, sont egaux a deux droicts : d'où vient que si deux angles d'un triangle sont egaux à deux angles d'un autre triangle, le troisiesme angle de l'un sera aussi egal au troisiesme angle de l'autre ; et de plus, si les deux angles de ce triangle-là sont egaux aux deux angles de cestuy-cy, chacun au sien, les triangles seront equiangles.

Il appert aussi que tout triangle Isoscelle, duquel l'angle compris des costez egaux est droict, à chacun des autres angles demy droict : car ces deux ensemble font un droict, puis que par la 32.proposition les trois sont egaux à deux droicts, et que le troisiesme est posé droict : Parquoy puis que par la 5.proposition les deux restans sont egaux entr'eux : chacun d'iceux sera demy droict. Mais si l'angle contenu des costez egaux estoit obtus, chacun des autres seroit moindre qu'un demy droict : car les deux ensemble seroient moindres qu'un droict, etc. Finalement si ledit angle estoit aigu, chacun des autres, seroit plus grand qu'un demy droict : pource que les deux ensemble seroient plus grands qu'un droict, etc. D'où resulte derechef que les triangles Isoscelles, qui ont les angles du sommet egaux, sont equiangles ; attendu que chacun des angles de dessus la base, sera la moitié du reste de deux droicts.

Il est pareillement manifeste, que chasque angle d'un triangle equilateral, est les deux tierces parties d'un droict, ou la tierce partie de deux droicts. Car deux angles droicts, ausquels sont egaux les trois angles d'un triangle equilateral par cette 32.proposition estans divisez en trois angles egaux, chacun d'iceux sera necessairement la tierce partie de deux droicts, ou bien les deux tierces parties d'un droict.