Sur une ligne droicte donnee et terminee, descrire un triangle equilateral.

Soit la ligne droicte donnee AB, sur laquelle il faut faire un triangle equilateral.

Du centre A, et de l'intervale de AB, soit descrit le cercle BCD : Item, du centre B, et de l'intervalle de la mesme AB, soit descrit un autre cercle ACD, couppant le premier és poincts C et D, de l'un desquels, sçavoir de C, soient menees les deux lignes droictes CA, et CB : Je dis que le triangle ABC, construit sur la ligne droicte donnee AB, est equilateral.

Car le costé AB, est egal au costé AC par la 15.definition d'autant qu'ils procedent de mesme centre vers mesme circonference : et par la mesme raison, le costé BA est égal au coste BC. Donc par le 1.axiome les costés CA, et CB seront égaux, chacun estant égal à AB : et partant le triangle ABC descrit sur AB, est equilateral ; qui est ce qu'il falloit faire.

SCHOLIE

Quelques interpretes ont icy enseigné à descrire aussi sur une ligne droicte donnee un triangle isoscelle, et un scalene, ce que nous ferons aussi en ceste maniere. Soit une ligne droicte donnee AB, à l'entour de laquelle des centres A et B, soient descrits deux cercles, ainsi que dessus. En apres soit prolongee icelle AB, de part et d'autre vers les circonferences jusques en C et D : puis du centre A, et intervale AD, soit descrit le cercle DEF : Item, du centre B, et intervale BC, le cercle CEF, couppant le premier és poincts E et F, de l'un ou l'autre desquels, sçavoir de E, soient menees aux poincts A et B, les deux lignes EA, EB : Je dis que le triangle AEB, fait sur la ligne donnee AB, est isoscelle, qui est que les deux costez AE, EB, sont egaux entr'eux, et plus grands que AB. Car d'autant que par la 15.definition AE, est egale à la ligne droicte AD, et icelle AD est double de AB, veu que BA, et DB, sont egales entr'elles ; aussi AE sera double de AB. Derechef, parce que BE est egale à BC, et icelle BC est double de AB, aussi BE, sera double d'icelle AB. Veu donc que l'un et l'autre costé AE et BE est double de la mesme AB, ils seront egaux entr'eux par le 6.axiome et partant plus grands que la ligne AB. Donc le triangle AEB est isoscelle. Maintenant, si du poinct A, on tire la ligne droicte AG à la circonference EGF, qui ne soit la mesme que AE, ou AD, couppant la circonference EHD en H, et de G on mene à B la ligne droicte GB, sera constitué le triangle AGB sur la ligne AB, lequel je dis estre scalene. Car par la 15.definition tant AH, AD, que BG, BC sont egales. Mais AD, BC sont doubles de AB : d'icelle seront donc aussi double AH, BG : et partant plus grandes qu'icelle AB. Veu donc que AG est plus grande que AH, ou que BG : le triangle AGB sera scalene : ce qu'il falloit faire.

Or est icy à noter que pour briesveté nous mettons souventesfois ce mot ligne au lieu de ligne droicte : et quelquesfois aussi nous posons simplement deux lettres capitales : comme par exemple AB, au lieu de dire la ligne droicte AB, c'est pourquoy quand on trouvera ledit mot ligne posé simplement, ou bien deux lettres capitales de suite, il faudra entendre une ligne droicte. Semblablement, quand on trouvera ce mot angle, ou trois lettres capitales posees simplement de suitte sans aucune explication, il faudra entendre un angle rectiligne, le lieu duquel sera tousjours denotté par la lettre du milieu, ainsi que nous avons desja remarqué à la 12.definition.

Et d'autant qu'en la construction et demonstration de la plus part des problemes de ces Elemens-cy, Euclide employe beaucoup de paroles, et tire plusieurs lignes qui ne sont necessaires pour pratiquer lesdits problemes, nous enseignerons en suitte de leurs demonstrations, comme on peut facilement et briesvement construire lesdits problemes, et principalement ceux qui sont les plus en usage chez les Mathematiciens, et en la pratique desquels on peut apporter quelque briesveté.

Premierement donc, pour descrire un triangle equilateral sur une ligne droicte donnee AB, des centres A et B, mais de l'intervalle d'icelle AB, soient descrits deux arcs de cercles s'entrecouppant en C : puis à iceluy poinct C, soient tirees les lignes droictes AC, BC, et sera fait le triangle equilateral ACB.

Mais pour descrire un triangle isoscelle sur ladite ligne AB : des centres ACB, mais d'un intervalle plus grand qu'icelle AB, si on veut les costés plus grands que la ligne donnee, ou moindre (et toutesfois plus grand que la moitié d'icelle AB) si on veut les costez moindres : et soient descrits deux arcs s'entrecouppans en C, puis tirées les deux lignes AC, BC, lesquelles seront sur AB le triangle isoscelle ACB.

Et pour construire un triangle scalene sur ladite AB, du centre B, et d'un intervalle plus grand que BA soit descrit un arc, puis du centre A, et d'un intervalle encore plus grand que le precedent, soit descrit un autre arc qui couppe le premier en C, auquel poinct soient menees les deux lignes droictes AB, BC, et sera fait le triangle scalene ACB.

Voila donc comme il faut descrire sur une ligne donnée un triangle ou equilateral, ou isoscelle, ou scalene, et sur la 22.proposition de ce livre nous enseignerons comme il faut construire quelconque triangle ayant les trois costez egaux à trois lignes droictes donnees.