Si deux triangles ont deux costez egaux à deux costez, chacun au sien, et l'angle contenu d'iceux, egal à l'angle : la base sera egale à la base ; et les autres angles egaux aux antres angles, chacun au sien ; et le triangle egal au triangle.

Soient les deux triangles ABC et DEF, desquels le costé AB soit egal au costé DE, et AC à DF, et l'angle A egal à l'angle D : Je dis que la base BC sera egale à la base EF, et l'angle B egal à l'angle E, et l'angle C à l'angle F, et le triangle ABC egal au triangle DEF.

Qu'il ne soit ainsi ; si on entend le triangle DEF, estre posé sur le triangle ABC, en sorte que le poinct D soit sur le poinct A, et que DE tombe sur AB, aussi DF tombera sur AC : autrement l'angle A ne seroit pas egal à l'angle D. Et d'autant que les costez AB et AC sont egaux aux costez DE et DF, chacun au sien, ils conviendront par le 8.axiome converti, et partant les extremitez E et F tomberont sur les extremitez B et C : ainsi la base EF conviendra avec la base BC : car si elle ne convenoit pas, elle tomberoit ou au dessus d'icelle, comme BGC, ou au dessous, comme BHC, ce qui est impossible, attendu que deux lignes droictes ne peuvent enclore un espace par le 12.axiome. Donc les deux bases BC, et EF conviendront, et partant seront egales entr'elles par le susdit 8.axiome. Et par ainsi tout le triangle DEF conviendra avec tout le triangle ABC, consequemment egal à iceluy, et l'angle B conviendra aussi avec l'angle E, et l'angle C avec l'angle F, partant egaux. Si donc deux triangles ont deux costez egaux à deux costez, chacun au sien, etc. Ce qu'il falloit demonstrer.

SCHOLIE

Euclide met deux conditions en ce theoreme qui y sont du tout necessaires, la premiere desquelles est que deux costez du triangle soient egaux aux deux costez de l'autre chacun au sien : et la seconde, que les deux angles contenus d'iceux costez egaux, soient aussi egaux. Car defaillant l'une ou l'autre de ces deux conditions, ny les bases, ny les autres angles ne pourroient jamais estre egaux : et la derniere defaillant, les triangles peuvent bien estre quelquefois egaux, mais le plus souvent ils sont inegaux : ce que nous pourrions facilement demonstrer icy n'estoit que plusieurs choses à ce requises n'ont encore esté demonstrees : neantmoins afin de rendre aucunement evidente la necessité des susdites conditions nous apporterons icy ce qu'en dit Proclus sur ceste proposition, et Clavius apres luy.

Pour la premiere condition de ce theoreme, soient deux triangles ABC, DEF, ayans les angles A et D egaux, sçavoir droicts ; et les deux costez AB, AC egaux aux deux costez DE, DF, non chacun au sien, mais ces deux-là pris ensemble egaux à ces deux-cy aussi pris ensemble : et soit AB 3, et AC 4, qui adjoustez ensemble font 7, mais DE soit 2, et DF 5, qui sont aussi ensemble 7. Ce qu'estant ainsi, la base BC sera 5, et la base EF, racine quarree de ce nombre 29, laquelle est plus grande que 5, mais moindre que 6, et l'aire ou superficie du triangle ABC sera 6 : mais l'aire du triangle DEF ne sera que 5. Finalement les angles sur la base BC ne seront pas egaux aux angles de dessus la base EF, chacun au sien. Toutes lesquelles inegalitez adviennent à cause de ce que les costez AB, AC ne sont pas egaux aux costez DE, DF chacun au sien.

Quant a la seconde condition : Les costez AB, AC du triangle ABC soient egaux aux costez DE, DF du triangle DEF, chacun au sien, et chacun d'iceux soit 5, mais les angles A et D contenus d'iceux costez soient inegaux, et soit A plus grand que D. Toutes lesquelles choses estans ainsi, la base BC sera plus grande que la base EF, comme il sera demonstré en la 24.proposition de ce livre.

Que si nous posons la base BC estre 8, et la base EF 4, l'aire du triangle ABC, sera 12 ; mais l'aire du triangle DEF sera la racine quarree de ce nombre 84, laquelle est plus grande que 9, mais moindre que 10. Ce qui est tre bien cogneu des Geometres.

Et afin qu'on n'estime pas que ceste inegalité advienne à raison de ce que tous les quatre costez des triangles sont egaux, et rendre tant plus manifeste la necessité de la seconde condition de ce theoreme, soit un triangle ABC duquel le costé AB soit moindre que le coste AC, et aussi que la base BC. Du centre A, et de l'intervalle du petit costé AB, soit descrit un cercle BDE qui couppera tant le plus grand costé AC, que la base BC : Car autrement il passeroit ou par le poinct C, ou au delà d'iceluy ; ce qui est absurde, veu que toutes les lignes droictes tirées du centre A à la circonference du cercle BDE, doivent estre egales entr'elles par la 15.definition. Qu'il couppe donc la base BC en D, et soit tiree la ligne AD. Par la mesme 15.definition AB est egale à AD, et AC est commune à tous les deux triangles ABC, ADC, et partant iceux triangles auront les deux costez AB, AC egaux aux deux costez AD, AC, chacun au sien ; mais l'angle DAC, contenu des deux costez AD, AC, n'est que partie de l'angle BAC, contenu des costez egaux à ceux-là ; et partant la base DC ne sera aussi que partie de la base BC, et pareillement le triangle ADC partie du triangle ABC. Ce qui est aussi manifeste par l'application des nombres aux lignes : Car les Geometres sçavent tres bien que le costé AB estant 13, le costé AC 20, et la base BC 21 ; le costé AD sera aussi 13, et la base DC 11 ; mais l'aire ou contenu du triangle ABC sera 126, et celuy du triangle DAC ne sera que 66. Donc afin que de deux triangles les bases soient egales entr'elles, et leurs angles aussi egaux entr'eux, et pareillement les triangles egaux ; il est du tout necessaire que non seulement chaque costé de l'un soit egal à chaque costé de l'autre, mais aussi que les angles contenu d'iceux soient egaux entr'eux, comme a fort bien dit Euclide.

Finallement, nous remarquerons une fois pour toutes qu'Euclide n'entend parler en ces Elemens cy que des triangles rectilignes, car combien que cette proposition et plusieurs autres se puissent faire generales estans veritables, tant au regard des triangles rectilignes que des spheriques, si est-ce toutesfois que cela n'advient pas en toutes propositions, comme on peut voir en nostre traicté des triangles spheriques, c'est pourquoy nons estendrons toutes ses propositions seulement aux triangles rectilignes, encore qu'Euclide ne les specifie pas.