Les triangles isosceles, ont les angles sur la base egaux : et les costez egaux estans continuez, les angles exterieurs sous la base sont egaux.

Soit le triangle isoscele ABC : Je dis premierement que les angles ABC, et ACB, sur la base BC, sont egaux.

Qu'il ne soit ainsi. Soient prolongez AB et AC, costez egaux jusques en D et G. Les deux triangles ABG, et ACF, ayans l'angle A commun, ont les deux costez AB et AG egaux aux deux costez AC, et AF, chacun au sien ; et par 4.proposition, la base BG sera egale à la base CF, et l'angle ABG egal à l'angle ACF, et l'angle G egal à l'angle F. Item les triangles GCB, FBC, ayant l'angle G egal à l'angle F, et les deux costez GB, et GC egaux aux deux costez CF et FB : (Car CF a esté prouvé tantost egal à BG ; et AG, AF estans egaux ; et AC, AB aussi egaux ; les restes CG, et BF seront aussi egaux) par la 4.proposition la base sera egale à la base, et les autres angles egaux aux autres angles, chacun au sien : sçavoir est l'angle GBC, egal à l'angle FCB. Et qui des angles egaux ABG et ACF, oste les angles egaux CBG et BCF ; les demeurans ABC et ACB, seront egaux.

Pour la seconde partie. Que les costez egaux AB et AC estans continuez, les angles exterieurs sous la BC, sont egaux, sçavoir FBC à BCG, elle a été suffisamment demonstrée, lorsqu'on a prouvé que les triangles GBC, et CFB avoient leurs angles egaux, chacun au sien. Parquoy les triangles isosceles, etc. Ce qu'il falloit demonstrer.

SCHOLIE

Cette proposition est aussi vraye és triangles equilateraux. Car les deux costez AB, AC du triangle ABC estans egaux entr'eux, ou l'autre costé GB, est pareillement egal à iceux, comme il advient au triangle equilateral, ou bien inegal, comme il arrive au triangle isoscele : Il s'ensuit necessairement, que les angles de dessus la base BC, sont egaux entr'eux, et ceux de dessous la mesme base aussi egaux entr'eux, comme il appert par la demonstration cy-dessus.

COROLLAIRE

De ceste 5.proposition il s'ensuit que tout triangle equilateral est aussi equiangle, c'est à dire que les trois angles de quelconque triangle equilateral sont egaux entr'eux. Car soit un triangle equilateral ABC : Donc par ce que les deux costez AB, AC sont egaux, par la 5.proposition les deux angles B et C seront egaux. Semblablement, pour ce que les deux costez AB, BC sont egaux, les deux angles A et C seront aussi egaux. Donc par le 1.axiome tous les trois angles A, B, C seront egaux entr'eux. Ce qu'il falloit demonstrer.