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Soit le triangle isoscele ABC : Je dis premierement que les angles ABC, et ACB, sur la base BC, sont egaux. Qu'il ne soit ainsi. Soient prolongez AB et AC, costez egaux jusques en D et G. Les deux triangles ABG, et ACF, ayans l'angle A commun, ont les deux costez AB et AG egaux aux deux costez AC, et AF, chacun au sien ; et par 4.proposition, la base BG sera egale à la base CF, et l'angle ABG egal à l'angle ACF, et l'angle G egal à l'angle F. Item les triangles GCB, FBC, ayant l'angle G egal à l'angle F, et les deux costez GB, et GC egaux aux deux costez CF et FB : (Car CF a esté prouvé tantost egal à BG ; et AG, AF estans egaux ; et AC, AB aussi egaux ; les restes CG, et BF seront aussi egaux) par la 4.proposition la base sera egale à la base, et les autres angles egaux aux autres angles, chacun au sien : sçavoir est l'angle GBC, egal à l'angle FCB. Et qui des angles egaux ABG et ACF, oste les angles egaux CBG et BCF ; les demeurans ABC et ACB, seront egaux. Pour la seconde partie. Que les costez egaux AB et AC estans continuez, les angles exterieurs sous la BC, sont egaux, sçavoir FBC à BCG, elle a été suffisamment demonstrée, lorsqu'on a prouvé que les triangles GBC, et CFB avoient leurs angles egaux, chacun au sien. Parquoy les triangles isosceles, etc. Ce qu'il falloit demonstrer. |
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SCHOLIE
Cette proposition est aussi vraye és triangles equilateraux. Car les deux costez AB, AC du triangle ABC estans egaux entr'eux, ou l'autre costé GB, est pareillement egal à iceux, comme il advient au triangle equilateral, ou bien inegal, comme il arrive au triangle isoscele : Il s'ensuit necessairement, que les angles de dessus la base BC, sont egaux entr'eux, et ceux de dessous la mesme base aussi egaux entr'eux, comme il appert par la demonstration cy-dessus.
COROLLAIRE
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De ceste 5.proposition il s'ensuit que tout triangle equilateral est aussi equiangle, c'est à dire que les trois angles de quelconque triangle equilateral sont egaux entr'eux. Car soit un triangle equilateral ABC : Donc par ce que les deux costez AB, AC sont egaux, par la 5.proposition les deux angles B et C seront egaux. Semblablement, pour ce que les deux costez AB, BC sont egaux, les deux angles A et C seront aussi egaux. Donc par le 1.axiome tous les trois angles A, B, C seront egaux entr'eux. Ce qu'il falloit demonstrer. |
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