Si des extremitez de quelque ligne droicte, on mene deux autres lignes droictes, se rencontrans à un poinct ; des mesmes extremitez, on n'en pourra pas mener deux autres egales à icelles, chacune à sa sienne, et de mesme part, se rencontrans à un autre poinct.

Soit la ligne AB, des extremitez de laquelle soient menées deux lignes droictes AC et BC se rencontrant à quelconque poinct C. Je dis que des mesmes extremitez A et B, et de la mesme part que C, on ne peut mener deux autres lignes droictes egales à icelles AC, BC, chacune à la sienne, qui se rencontrent à un autre poinct que C ; c'est à dire que si de l'extremité A on mene la ligne AD egale à AC, et de l'extremité B la ligne BD egale à BC ; il ne peut estre que le poinct de rencontre D, soit autre que le poinct de rencontre C.

Car si faire se peut, que le poinct de rencontre D, tombe ailleurs qu'un poinct C : où iceluy poinct D tombera sur l'une ou l'autre des lignes AC, BC ; ou dans le triangle ACB ; ou hors iceluy.

Premierement iceluy poinct de rencontre D, ne peut estre sur la ligne AC, comme en la premiere figure : car il faudroit que les deux lignes AD, et AC fussent egales entr'elles, sçavoir est la partie au tout ; ce qui est absurde : partant la rencontre D, ne se fera point sur AC, ny aussi sur BC, à cause de la mesme absurdité.

Soit donc iceluy poinct de rencontre D dans le triangle ABC, comme en la 2.figure : et apres avoir prolongé BC jusques en E, et BD jusques en F, soit menee CD. Puis que les deux lignes AC, et AD sont posees egales, le triangle ACD sera isoscele, et par la 5.proposition les deux angles ACD et ADC sur la base CD seront egaux. Mais l'angle ACD est moindre que l'angle DCE : (car il n'est que partie d'iceluy) donc l'angle ADC est aussi moindre que le mesme angle DCE : et par consequent l'angle CDF, qui n'est que partie d'iceluy ADC, sera beaucoup moindre que le mesme angle DCE. Derechef, puis que les lignes BC, BD, sont posees egales, le triangle BCD doit estre isoscele, et partant les angles CDF et DCE sous la base DC, seront egaux par la mesme 5.proposition. Mais il a esté demonstré que l'angle CDF est beaucoup moindre que l'angle DCE, donc le mesme angle CDF est moindre que l'angle DCE, et aussi egal à iceluy : ce qui est absurde.

Soit donc finalement iceluy poinct de rencontre D hors iceluy triangle ACB, comme en la 3.figure : apres avoir mene la ligne CD, il sensuivra que les deux triangles ADC et BCD seront isosceles : et partant qu'ils auront les angles sur la base CD egaux : sçavoir est ADC à ACD, et BDC à BCD. Mais iceluy BCD, est plus grand que ACD : donc aussi BDC sera plus grand que ADC, c'est à dire la partie que le tout : ce qui est absurde. Le poinct de rencontre D ne tombera donc pas hors le triangle ABC, ny dedans iceluy, ny sur les lignes AC & BC : Il faut donc qu'iceluy poinct de rencontre D tombe au premier poinct de rencontre C : Parquoy si des extremitez de quelque ligne droicte, etc. Ce qu'il falloit demonstrer.

SCHOLIE

Il est manifeste que si AD, BD prises ensemble estoient faictes egales à AC, BC aussi prises ensemble, le poinct de leur rencontre D, seroit autre que le premier poinct C ; comme is seroit encore si on faisoit AD égale à BC, et BD egale à AC, mais en l'une ny l'autre maniere, icelles lignes AD, BD ne seroient pas selon l'intention d'Euclide : car il veut que non seulement les lignes AD, BD, soient egales aux lignes AC, BC, chacune à la sienne, mais aussi que les lignes egales soient menees d'un mesme poinct, et de plus que ce soit de mesme part. Car il est tres evident qu'icelles AD, BD, peuvent bien estre tirées de l'autre costé de C, c'est à sçavoir au dessoubs de la ligne AB. Donc fort à propos Euclide met en ce theoreme que les lignes soient egales chacune à la sienne, et menees de mesme part, etc.